正規分布(ガウス分布)

連続変数の確率分布のうち，もっとも広く使われているものの一つである．正規分布が広く使われるのは，誤差が正規分布に従うことが多いためである．正規分布は，ガウスが星の位置を人間が観測した場合，実際の位置に対してどのようにばらつくかを調べる中で生まれた．

標準正規分布

もっとも基本的な正規分布．規格化(総和が1となるように調整する)のため$\sqrt{2 \pi}$で割っている．

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})$$

平行移動

標準正規分布は，0を中心としている分布であるが$\mu$を中心とした正規分布を作りたい場合，平行移動することを考える．

$$p(x|\mu)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2})$$

スケーリング

標準正規分布を二階微分する． $$ \frac{d^2\mathcal{N}}{dx^2} = -\frac{1-x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})$$ よって，変曲点は+1,-1となる．
変曲点が$\sigma$の分布を作る場合，以下のようになる．

$$ p(x|0,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$$

平行移動とスケーリングをまとめて一般の正規分布$\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2)$が作られる．

$$\mathcal{N}(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$$

参考

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