正規分布(ガウス分布)

連続変数の確率分布のうち,もっとも広く使われているものの一つである.正規分布が広く使われるのは,誤差が正規分布に従うことが多いためである.正規分布は,ガウスが星の位置を人間が観測した場合,実際の位置に対してどのようにばらつくかを調べる中で生まれた.

標準正規分布

もっとも基本的な正規分布.規格化(総和が1となるように調整する)のため2πで割っている.

p(x)=12πexp(x22)

平行移動

標準正規分布は,0を中心としている分布であるがμを中心とした正規分布を作りたい場合,平行移動することを考える.

p(x|μ)=12πexp((xμ)22)

スケーリング

標準正規分布を二階微分する. d2Ndx2=1x22πexp(x22) よって,変曲点は+1,-1となる.
変曲点がσの分布を作る場合,以下のようになる.

p(x|0,σ2)=12πσ2exp(x22σ2)

平行移動とスケーリングをまとめて一般の正規分布N(x|μ,σ2)が作られる.

N(x|μ,σ2)=12πσ2exp((xμ)22σ2)

参考

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