二項分布とその仲間たち

多項式分布

ベルヌーイ分布

まず，離散変数のとりうる値が2種，すなわち0か1のいずれかの値をとる場合を考える． 1が現れる確率を$\mu$,0が現れる確率を$1-\mu$とする．$\mu$は0から1までをとる．このように定義される分布をベルヌーイ分布とよぶ．

$$p(x|\mu)=\mu^x(1-\mu)^{1-x}$$

このように確率変数を引数として，その値が確率であるような関数は確率質量関数とよばれる．

二項分布

ベルヌーイ分布の試行回数を増やすことを考える．

$$p(r|m,\mu)=\frac{m!}{r!(m-r)!}\mu^r(1-\mu)^{m-r}$$

多項分布

サイコロの確率を考える場合，取りうる値を1から6まで拡張する必要がある．ベルヌーイ分布や二項分布を一般化したものの多項分布とよぶ．

$$p(x|\mu)=p(x_1,x_2,…,x_k|\mu_1,\mu_2,…,\mu_k)=\frac{(\sum_{j=1}^kx_j)!}{\Pi_{j=1}^kx_j!} \Pi_{j=1}^k\mu_{j}^{x_j}$$

$m=1$の場合をマルチヌーイ分布とよぶ．

$$\mathcal{M}(x|\mu)=p(x|\mu)=\Pi_{j=1}^k\mu_j^{x_j}$$

参考

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