H∞制御（H-infinity control）は、ロバスト制御理論の一つであり、システムに加わる外乱やモデルの不確かさに対して、制御性能を保証することを目的とした制御器設計手法です。特に、最悪ケースの外乱に対するシステムの応答を最小化することを目指します。
H∞ノルム
H∞制御では、システムの性能を評価するためにH∞ノルムという概念を用います。H∞ノルムは、システムの周波数応答の最大ゲインを表し、外乱から出力への影響の最大値を意味します。
外乱 \(w\) から制御対象の出力 \(z\) への閉ループ伝達関数を \(T_{zw}\) とすると、そのH∞ノルムは以下のように定義されます。
\[ ||T*{zw}||*\infty = \sup*{\omega} ||T*{zw}(j\omega)|| \]これは、全ての周波数 \(\omega\) における伝達関数のゲインの最大値（ピーク値）を示します。
また、エネルギーゲインの観点からは、以下のように定義されます。
\[ ||T*{zw}||*\infty = \sup\_{w \neq 0} \frac{||z||\_2}{||w||\_2} \]ここで、\(||\cdot||_2\) は信号のL2ノルム（エネルギー）を表します。
\[ ||z||\_2^2 = \int_0^\infty z^T(t)z(t)dt \]\[ ||w||\_2^2 = \int_0^\infty w^T(t)w(t)dt \]H∞制御問題の目的は、このH∞ノルム \(||T_{zw}||_\infty\) を、ある正の定数 \(\gamma\) 以下に抑えるような制御器 \(K\) を設計することです。つまり、
\[ ||T*{zw}||*\infty < \gamma \]を満たす制御器を見つけることです。この \(\gamma\) は性能指標またはゲインと呼ばれ、小さいほど外乱抑制性能が高いことを意味します。
H∞制御問題の定式化
H∞制御問題は、状態空間表現を用いて、以下の最適化問題として定式化されることが多いです。
\[ \min*K \sup*{w \neq 0} \frac{||z||\_2}{||w||\_2} \]これは、制御器 \(K\) を設計することで、外乱 \(w\) から出力 \(z\) へのエネルギーゲインを最小化することを目指します。
また、ゲーム理論的な視点から、以下のように表現されることもあります。
\[ \min_u \max_w \int_0^\infty (z^T(t)z(t) - \gamma^2 w^T(t)w(t)) dt \]これは、制御入力 \(u\) を選択することで \(z^T(t)z(t)\) を最小化し、同時に最悪ケースの外乱 \(w\) が \(w^T(t)w(t)\) を最大化するという、ミニマックス問題として捉えられます。
H∞制御は、航空宇宙、ロボット工学、プロセス制御など、高いロバスト性が求められる様々な分野で応用されています。